top of page

Cazın Matematiksel Analizi ile Fraktal Geometri’ye Dönüşümü



Caz, müziğin en karmaşık sistemi olarak tanımlanmaktadır. Armonik altyapısı klasik müzikten çok daha zengin olup temelleri incelendiğinde matematiksel olarak belirli oranlara ulaşılmaktadır. Dolaylı olarak müziğin içerisinde yatan harmonik oranları bulmak mimari bağlantısının temellerini atmaktadır…

Fraktal geometri; doğada var olan, kendini her ölçekte tekrar eden matematiksel algoritmaları tanımlamaktadır. Karmaşık formların oluşumunda, kendini tekrarlayan harmonik oranlar vardır. Estetik algı, bu oranların bilinçdışı fark edilmesi sonucunda şekillenmektedir ve insanlar üzerinde psikolojik benzerlik göstermektedir. Algı çeşitliliği, doğanın anlaşılabilmesini kolaylaştırmaktadır. Görsel ile işitsel duyum, kavramanın en önemli araçlarındandır. Doğayı anlama çabamız, içinde varolan estetik ve güzelliklerden haz alabilmek içindir. Düzensiz, rastgele gibi görünen formlar altında saklı, lineer olmayan matematiksel düzen bulunmaktadır (Barnsley, 1993).


Canlı ya da cansız her yapının bir titreşimi, frekansı yani sesi vardır. İnsan kulağının algılayabildiği kısıtlı frekanslar dahi dürtüsel olarak yapıların özünün, formunun hissedilebilmesini sağlamaktadır. İnsan ile doğanın etkileşimi, altında matematiksel algoritmalar bulunan doğal yapıların oluşumlarının dürtüsel olarak taklit edilerek belirli harmonik oranları yakalaması ile mimariye yansımıştır (Willimek, 2013). Fraktal geometri ile estetik harmonik oranlar analiz edilebilmekte ve tekrar yaratılabilmektedir.


Müzik; bütün frekansların, farklı seslerin bir araya gelmesi sonucunda oluşan melodik ve ritmik bir yapıdır, işitsel bir estetik algı olarak kabul edilir. Görsel ve işitsel estetik algı arasında ilk bakışta anlaşılamayan doğal bir bağlantı vardır (McLeod, 2007). Psikoloji, bu bağlantının varlığına insanlar üzerindeki benzer duygusal etkilerini saptayarak ışık tutmaktadır. Işık doğrultusunda bağlantıyı kanıtlayabilmek için en etkili araç ise matematiksel analizdir. Müzik ile mimari arasındaki karmaşık bağlantıyı matematiksel analizle incelemenin yollarından biri, fraktal geometri ile algoritmalar üreterek estetik harmonik oranları yakalayabilmektir.


Caz, müziğin en karmaşık sistemi olarak tanımlanmaktadır. Armonik altyapısı klasik müzikten çok daha zengin olup temelleri incelendiğinde matematiksel olarak belirli oranlara ulaşılmaktadır (Terefenko, 2014). Dolaylı olarak müziğin içerisinde yatan harmonik oranları bulmak mimari bağlantısının temellerini atmaktadır. Günümüzde müzik ile mimarlığı bağlayan çalışmaların sayısı son derece azdır. Bu içerik kapsamlı olup temel olarak melodi ve ritmin ayrı tutularak yapılması sonucunda sınırsız doğal form ile bağlantıların çözülmesinde ve yeniden üretilmesinde kullanılabilmektedir (Wu, 1996).


Birden fazla alanı ilgilendiren bir çalışma olan tez içeriğinde amaç; işitsel bir öğenin matematiksel analiz ile özgün bir fraktal modeli yaratılarak görsel bir öğe haline dönüştürülmesidir.


Fraktal geometrinin temeli, geri bildirim mekanizmasına dayanmaktadır. Geri bildirim mekanizmasında bir formül tanımlıdır. Bir sabit veri girdi olarak kabul edilir ve girdiye sabit bir formül uygulanır, buna işlem denir. İşlem yapıldıktan sonra oluşan sabit veri çıktıdır. Burada en önemli nokta, çıktının ikinci aşamada tekrar girdi olarak kullanılıp aynı formül uygulanarak yeni bir çıktı, yeni bir veri oluşturulmasıdır. Bu durumda çıktı her seferinde aynı formül uygulanarak oluşturulan yeni bir girdi olarak kabul edilmektedir ve bu şekilde kendini aynı işlemle tekrarlayan bir form oluşmaktadır (Peitgen, Jürgens, SAUPE, 1992).


Şekil. 1 Geri Bildirim Mekanizması

Klasik fraktal modellerden biri olan ‘Sierpinski üçgeni’ bunun bir örneğidir.


Kural

1. İçi dolu bir üçgen oluşturulur.

2. Üçgenin kenarlarının orta noktaları işaretlenir.

3. Orta noktalar birleştirilerek ortada ters bir üçgen oluşturulur.

4. Oluşturulan ters üçgen büyük üçgenin içerisinden çıkarılır.


Döngü, her seferinde içi dolu olan üçgenlere teker teker uygulanmaktadır. Uygulama sayısı arttıkça oluşan şekil aşağıdaki gibi olmaktadır (Peitgen, Jürgens, SAUPE, 1992).


Şekil. 2 Sierpinski Üçgeni Modeli


“Geleneksel olarak adlandırılan Euclid Geometrisi lineer matematiğe dayanır, belirli ölçekte uygulanabilir. Fakat fraktal geometrisi, doğada varolan karmaşık formların altında yatan non lineer formülleri ile biçime matematiksel bir açıklama getirebilmektedir.”


Pascal Üçgeni, ilk kez Fransız matematikçi Blaise Pascal tarafından bulunmuştur. Pascal Üçgeni aynı zamanda binom açılımı katsayılarını içermektedir. Üçgen, en üstteki satırdan başlayarak yan yana bulunan katsayıların toplamının bir alt satıra yazılmasıyla elde edilmektedir (Peitgen, Jürgens, SAUPE, 1992).


Şekil. 3 Pascal Üçgeni

Pascal Üçgeni‘nde yazılı olan bütün çift sayılar işaretlendiği zaman ortaya Sierpinski Ьзgeni dokusu çıkmaktadır.


Şekil. 4 Pascal Üçgeni’nde 2 ile tam bölünebilen sayıların gösterimi.

Pascal Üçgeni’nin kalansız bölünebilirlik üzerinden farklı tek basamaklı sayılar ile boyanması üzerine temeli ‘Sierpinski Deseni‘ne dayanan farklı desenler ortaya çıkmıştır.


Şekil. 5-6-7 Pascal Üçgeni’nde 3,5 ve 9 ile tam bölünebilen sayıların gösterimi.

Matematikçi Helge von Koch, sonsuz matrislere tanım getiren ve onların uzunluklarını hesaplamaya yarayan Koch modelini bulmuştur. ‘Koch eğrisi’nden oluşan çeşitli kapalı modellere ‘Koch Kar Tanesi’ ismi verilmiştir. İterasyon, bir doğru parçasının üzerinde kırılmalar yaratarak oluşmaktadır (Peitgen, Jürgens, SAUPE, 1992).


Şekil. 8 Koch Eğrisi algoritması.


Geleneksel olarak adlandırılan Euclid Geometrisi lineer matematiğe dayanır, belirli ölçekte uygulanabilir. Fakat fraktal geometrisi, doğada varolan karmaşık formların altında yatan non lineer formülleri ile biçime matematiksel bir açıklama getirebilmektedir. Euclid Geometrisi iki ve üç boyutta çizgi, küre gibi basit ve temel formları tanımlamakla sınırlı kalıyorken fraktal geometri yine temeli Euclid’e dayansa da daha karmaşık, doğada bulunan formları tanımlayan etkili bir yöntem ortaya koymuştur (Oestreicher, 2007).


Şekil. 9 Fern Dalı

Şekil. 10 Kaliforniya Oak Ağacı

Seslerin çoklu kullanımı, müzikte armonileri oluşturmaktadır. Armoni, kulağa güzel gelen ses dizilimleri demek değildir. Armoni, belirli kurallarla oluşturulmuş ve farklı hisler yaratan ses dizilimleridir (Levine, 1989). Piyano üzerinde tonal sistemdeki 12 nota kendini tekrarlamaktadır. Aynı ismi taşıyan iki ses arasındaki sekiz notalık aralığa oktav (sekizli) denir. Klasik Batı Müziği’nde 7 adet temel nota bulunmaktadır. Do, re, mi, fa, sol, la, si olarak yazılan notalar farklı olarak sırayla C, D, E, F, G, A, B olarak da ifade edilebilmektedir (Cesi,1974).


“İnsan kulağının en rahat algıladığı ve insan sesinin tanımlı olduğu aralık C3-G5 aralığıdır. Çalışma içeriğinde armoni dizilimleri, en basite indirgenmiş hali ile incelenebilmek amacıyla piyano üzerinde üçüncü oktav içerisinde bulunan pes do notasının frekansı baz alınarak oluşturulmuş, bir oktav içerisinden türetilen on iki temel armonik akor tanımlanmıştır.”


İnsan kulağının en rahat algıladığı ve insan sesinin tanımlı olduğu aralık C3-G5 aralığıdır. Çalışma içeriğinde armoni dizilimleri, en basite indirgenmiş hali ile incelenebilmek amacıyla piyano üzerinde üçüncü oktav içerisinde bulunan pes do notasının frekansı baz alınarak oluşturulmuş, bir oktav içerisinden türetilen on iki temel armonik akor tanımlanmıştır. Bu nedenle oluşturulan modal caz akorlarının piyano üzerinde başlangıç noktası C3 olacaktır. Akor kurulumları tizleşerek eklenmektedir (Levitin, 2006). Bu akorlar içerisinde armoniyi oluşturan notaların frekans değerleri Hertz olarak yazılmıştır.

Şekil.11 Piyano üzerinden notaların frekans değerleri.

Bu durumda akorların notalarının oktav tanımlaması aşağıda gösterilmiştir.


i. C∆ akoru: C3, E3, G3, B3

ii. C∆ akoru: C3, Eb3, G3, B3

iii. Dmin7 akoru: D3, F3, A3, C4

iv. Esusb9 akoru: E3, F3, A3, B3, D4

v. Eb∆#5 akoru: Eb3, G3, B3, D4

vi. F∆#4 akoru: F3, A3, B3, E4

vii. F7#11 akoru: F3, A3, B3, Eb4

viii. G7 akoru: G3, B3, D4, F4

ix. Gsus akoru: G3, A3, C4, D4, F4

x. Amin7b6 akoru: A3, C4, E4, G4

xi. Bᴓ akoru: B3, D4, F4, A4

xii. B7alt akoru: B3, Eb4, F4, A4


Piyano üzerinden tanımlanan frekans değerleri, oluşturulacak fraktal modelin temel verileridir. Özel olarak caz modal akorları için geliştirilen fraktal modelin mantığı Koch Eğrisi algoritmasına dayanmaktadır. Koch Eğrisi oluşturulurken geri bildirim prensibi, belirli bir doğru parçası üzerine uygulanan formülün ya da yöntemin oluşan yeni formda bulunan doğru parçalarına uygulanmasından meydana gelmektedir. Aynı şekilde bir fraktal model tanımlanırken frekans değerleri, piyano üzerinden tam ve yarım ses aralıklarının yönlendirdiği açı yerleşimi ile bir ağaз algoritması üretilmiştir.


Ağaç algoritması üretilirken piyanonun 3. ve 4. oktavında bulunan notalar kullanılmıştır. Bu notalar C majör ve C melodik minör gamı için kullanıldığında 3. oktav gamı içerisindeki notalar ile başlayan akorlar elde edilmiştir. Akorların sınırı 3. oktav Do C3 ve 5. oktav Do C5 olarak belirlendiğinde iki Do notasının frekansının oranları C5/C3=4.00 olmaktadır. Bu katsayı göz önünde bulundurularak ağaç algoritması başlangıcında ağacın gövdesi karakterinde L=4 birimlik bir dikey doğru parçası çizilmiştir.


Doğru parçası piyanonun üzerinde 3. oktavdan 5. oktava kadar uzanan bir yolu temsil etmektedir. Modal caz akorlarını oluşturan her bir nota ilk frekans olarak kabul edilen 3. oktav Do C3 notasına oranlandığında oluşan katsayılar ise bu doğru parçası üzerinde notaların yerleşimini temsil etmektedir.


C majör ve melodik minör modları ile oluşan temel caz akorlarının notaları her bir akor için aynı ağaç gövdesinde canlandırılmıştır. Notaların frekansına göre belirlenen yerleri x-y koordinat sisteminde x=0 kabul edilerek y ekseni üzerinde yerleştirilmiş ve y harfi ile gösterilmektedir. Notaların frekans oranları ile yerleştiği noktalardan notaların frekansları uzunluğunda ağaç dalları üretilmiştir. Ağaç dallarının birim boyları d harfi ile gösterilmektedir. Ağacın dallarının ağaç gövdesi ile yaptığı ilk açı 30 olarak belirlenmiştir. Akor içerisinde bulunan sonraki notaların ağaç gövdesi ile yaptığı açı ɣ olarak gösterilmektedir. Ağaç gövdesindeki kolların boyları akor içerisinde bulunan notaların frekanslarının, yine akor içerisinde bulunan ilk, yani en pes notaya oranı ile belirlenmiştir. Ağaç kollarının ağaç gövdesi ile yaptığı açının yönü ise iki oktav içerisinde tam ve yarım ses aralıklarına göre tanımlanmıştır.


Şekil. 12 Fraktal model ana şema.

Fraktal ağaç modeli tanımlanırken C3-G5 aralığındaki temel caz akorlarında bulunan notalar yarım ve tam ses artış olan notalar için yцn tayini kavramı oluşturulmuştur. Bu kavram, üretilecek fraktal modelin görselinin güçlenebilmesi amacıyla ağaç dallarının yönünü belirlemektedir.

Formülü tanımlanırken elde edilen her veri akorların frekansları üzerinden hesaplanmış olup, ağaç modeli oluşturmak için kullanılacaktır. Yaratılan fraktal model herhangi bir yerden alınmamış olup nota dizilimlerinin mantığına göre yaratılmıştır. Uygulama bölümünde model içeriğinde hesaplanarak elde edilmiş olan çizelgeler içerisindeki veriler kullanılarak 12 adet C majör ve melodik minör gamları üzerinden oluşturulmuş temel modal caz akoru modellenmiştir.

Örnek olarak, C majör gamın Mixolydian modu, Gsus akoru piyano üzerinde E3-F3-A3-B3-D4 notalarından oluşmaktadır (Akor içerisinde B notası sakınılmaktadır).


Notaların frekans değerleri

G3: 196.00 Hz

A3: 220.00 Hz

C4: 261.63 Hz

D4: 293.66 Hz

F4: 349.23 Hz

Notaların frekans oranları

G3: 1.50

A3: 1.68

C4: 2.00

D4: 2.25

F4: 2.67 olarak belirlenmiştir.


Belirlenen frekans oranlarına göre elde edilen değer ve katsayılar kullanılarak doğru parçasının üzerine işlenmiş, fraktal algoritması her adımda sahip olduğu her kol için 5 adımda ağaç üzerinde tekrar üretilmiştir.


Şekil. 13 Gsus akoru fraktal ağaç modeli adımları.

Piyano üzerinde tanımlanan C3-G5 aralığında oluşturulan 12 caz akoru için aynı fraktal model işlemi uygulandığında geometrik olarak birbirinden farklı ağaç formları elde edilmiştir. Karşılaştırma yapabilmek amacıyla oluşturulan ağaç modelleri majör ve minör gamların fraktal modelleri olarak gruplanmıştır.


Şekil. 14 Majör akor fraktal ağaç modelleri karşılaştırması.

Şekil. 15 Minör akor fraktal ağaç modelleri karşılaştırması.


“Araştırmanın temel adımı olan caz akorlarının geometriye dönüştürülmesi mantığıyla araştırma geliştirildiğinde ileri matematik ve müzik bilgisi kullanılarak görsel ve işitsel tasarımı birbirine bağlı gelişebilecek şekilde üç boyutlu alan tanımlamalarına gidilebileceği, caz ile mimari tasarım yapılabileceği öngörülmektedir.”


Mathlab programı ile yapılan modellerin karakteristik özellikleri tespit edilmiş, aralarında biçimsel, armonik ve algısal bağlar kurulmuştur. Algısal bağların analizi için fraktal modeller ve bağlı olduğu duygu durumlarının tespiti amacıyla anket yapılmıştır. Majör ve minör gamların kendi içerisindeki form benzerliği, duyumdaki duygusal etkisi ile benzer bulunmuştur. Anket sonuçları, matematiksel olarak tanımlanmış olan görsel ve işitsel algının bağlantısını psikolojik algı ile de desteklemiştir.


Tüm aşamalar sonucunda modal caz akorları üzerinden oluşturulan, caz ile mimarinin arakesiti olan fraktal ağaç modellerinin arasındaki temel bağlantılarla araştırmanın geliştirilebileceği altyapılar üzerinde durulmuştur. Araştırmanın temel adımı olan caz akorlarının geometriye dönüştürülmesi mantığıyla araştırma geliştirildiğinde ileri matematik ve müzik bilgisi kullanılarak görsel ve işitsel tasarımı birbirine bağlı gelişebilecek şekilde üç boyutlu alan tanımlamalarına gidilebileceği, caz ile mimari tasarım yapılabileceği öngörülmektedir.


KAYNAKLAR

Barnsley, M. F. (1993). Fractals Everywhere, Academic Press Limited, London.

Cesi, B. (1974). Metodo Per Lo Studio Del Pianoforte, G. Ricordi, Milano. Chakrabarti, V. (1998). Indian Architectural Theory and Practice: Contemporary

Levine, M. (1989). Jazz Piano Book, Sher Music Co, Kaliforniya.

Levitin, D. (2006). This Is Your Brain On Music, Atlantic Books, London.

McLeod, S. A. (2007). Visual Perception Theory, adres:http://www.simplypsychology.org/perception-theories.html.

Oestreicher, C. (2007). A History of Chaos Theory. Geneva, adres:http://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/PMC3202497/pdf/ DialoguesClinNeurosci-9-279.pdf.

Peitgen, H. & Jürgens & Saupe. (1992). Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, Springer-Verlag, New York.

Terefenko, D. (2014). Jazz Theory: From Basic to Advanced Study, Routledge, New York.

Willimek, D. & B. edt. Russel, L. (2013). Music and Emotions: Research on the Theory of Musical Equilibration (die Strebetendenz-Theorie), adres:http://www.willimekmusic.de/music-and-emotions.pdf.

Wu, N. Y. S. (1996). Uncovering the Hidden Codes: The Geometry of the East End of Reims Cathedral, Columbia University, Columbia.



 

Selen Beytekin

İTÜ Mezunu – Mimarlık Fakültesi Lisans, Yüksek Lisans, 2008-2014

İTÜ İnşaat Fakültesi, 2008

Caz Müzisyeni


Sekiz yaşında klasik piyano eğitimine başlayıp, yeteneği sayesinde dünyaca ünlü piyanist Ergican Saydam‘ın özel öğrencisi olarak piyano eğitimine konservatuvara eşdeğer olarak devam etmiştir. Lise yıllarında A Cappella korolarda şarkı söylerken daha sonra kendi korolarını kurarak şefliğini üstlenmiştir. İTÜ’de inşaat mühendisliği ve mimarlık okuyup üzerine yine İTÜ’de mimari tasarım yüksek lisansı yapmıştır. İTÜ Matematik Mühendisliği‘nde çift anadal yapması ile ilgili mimarlık yüksek lisans tezi olarak yazdığı ‘Cazın Matematiksel Analizi ile Fraktal Geometrisi’ arasındaki bağlantıyı anlatan kitabı birçok disiplinler arası akademik çalışmada kullanılmaktadır. Üniversitede okuduğu ilk bölümden mezun olduktan sonra müzik performanslarına devam ederken aynı zamanda profesyonel olarak inşaat-mimarlık sektöründe çalışmaya başlamış, eski yapı restorasyonları, hidroelektrik santralı gibi birçok projede çalışmıştır. Türkiye‘nin değerli caz müzisyenleriyle çalışan Selen Beytekin, yurt çapında bütün festivaller ve performans merkezlerinde sahne almaya, yurtdışında konserler yapmaya ve aynı zamanda profesyonel olarak inşaat sektöründe danışmanlık vermeye devam etmektedir.

 

276 görüntüleme0 yorum

Son Yazılar

Hepsini Gör
bottom of page